8. Dalla relatività ristretta alla generale

«Lo spaziotempo dice alla materia come muoversi; la materia dice allo spaziotempo come curvarsi»
John Archibald Wheeler¹

flowchart TD
A0(Teoria della Relatività Generale)
    A0 --> A1([le leggi fisiche sono le stesse  per tutti gli osservatori in tutti i  sistemi di riferimento])
    A1 --> A2([i sistemi di riferimento in moto accelerato tra di loro sono equivalenti])
    A2 --> A3([ i corpi in assenza di altre forze seguono i percorsi più brevi nello spazio tempo])
    A0 --> B1([non sono possibili azioni istantanee a distanza a velocità superiore a quella della luce])
    B1 --> B2([piccole perturbazioni del campo gravitazionale si propagano come onde alla velocità della luce])
    A0 --> C1([la massa inerziale è equivalente alla massa gravitazionale])
    C1 --> C2([la gravità è indistinguibile da una accelerazione del sistema di riferimento. ])
    C2 --> C3([il campo gravitazionale curva lo spaziotempo])
    C3 --> D1([<em> Lo spaziotempo dice alla materia come muoversi;<br/> la materia dice allo spaziotempo come curvarsi </em> <strong>J.Wheeler</strong>])
    A3 --> D1

La relatività generale

Circa dieci anni dopo lo sviluppo della relatività ristretta Einstein elabora una nuova teoria, la relatività generale, per estendere il principio di relatività, ed il requisito di covarianza, ad osservatori in sistemi di riferimento accelerati, rotanti e così via.

Nella nuova teoria generale:

• le leggi fisiche sono le stesse per tutti gli osservatori in tutti i sistemi di riferimento
• sono equivalenti tra di loro anche i sistemi di riferimento in moto accelerato e non rettilineo uniforme
• non sono mai possibili azioni istantanee a distanza a velocità superiore a quella della luce
• la massa inerziale è equivalente alla massa gravitazionale anche se hanno definizioni diverse
• la gravità non è distinguibile da una accelerazione del sistema di riferimento.
• il campo gravitazionale di una massa curva lo spaziotempo
• i corpi in assenza di altre forze seguono i percorsi localmente più brevi nello spaziotempo curvo, le linee geodetiche
• piccole perturbazioni del campo gravitazionale si propagano come onde alla velocità della luce
• Note:
  1. La massa inerziale è il rapporto tra forza ed accelerazione nella seconda legge della dinamica.
  2. La massa gravitazionale è quella che compare nelle legge di gravitazione universale.

Einstein ha dovuto modificare anche la legge di gravità di Newton per rispettare questi principi.

Con una teoria puramente geometrica, in cui non agisce istantaneamente a distanza una forza di gravità, ma:
“Lo spaziotempo dice alla materia come muoversi; la materia dice allo spaziotempo come curvarsi “ (Wheeler)
cioè la materia si muove semplicemente sulle linee geodetiche dello spazio incurvato.

Se i campi gravitazionali sono deboli e statici, le due teorie della gravitazione, di Einstein e Newton, danno ovviamente gli stessi risultati

Einstein è partito da due geniali intuizioni:

• Un raggio di luce impiega otto minuti e mezzo per il tragitto dal Sole alla Terra. Ma se c è una velocità limite, e nessuna interazione si può propagare a distanza a velocità superiore, allora la legge della gravità di Newton, con un’azione istantanea a qualunque distanza, non è realistica
• Galileo ha capito che un osservatore in un sistema di riferimento / laboratorio che si muove di moto rettilineo ed uniforme non percepisce il moto ma pensa di essere in quiete, il moto è relativo. Ma un osservatore in un sistema di riferimento / laboratorio in caduta libera in un campo gravitazionale (una astronave al rientro, un ascensore sganciato dalle funi) non percepisce la forza di gravità, che quindi è indistiguibile da una accellerazione del sistema di riferimento, è una forza apparente.

Le idee di base non sono complicate, ma per precisarle bene servono strumenti matematici avanzati che all’epoca non erano molto conosciuti, soprattutto al di fuori delle migliori università italiane.

La geometria differenziale e non euclidea degli spazi curvi ad un numero qualunque di dimensioni era stata creata da un genio, Bernhard Riemann, scomparso prematuramente per tubercolosi ( mentre era in Italia, sul Lago Maggiore).

La grande importanza del suo lavoro per il progresso della matematica e delle scienze era stata ben compresa solo dalla grande scuola di matematica italiana: Gregorio Ricci-Curbastro, Tullio Levi-Civita, Luigi Bianchi, Eugenio Beltrami ed altri.
Ma quasi ignorata nelle altre università del mondo, dove regnava incontrastata la vecchia geometria euclidea, formulata oltre duemila anni prima.

Einstein rimase bloccato nei suoi studi per queste difficoltà matematiche per una decina di anni, finchè il suo amico matematico Marcel Grossmann gli spiegò a fondo il lavoro sul calcolo tensoriale di Ricci e Levi-Civita, con cui poi si mise in contatto direttamente.

Il risultato finale sono le equazioni relativistiche del campo gravitazionale, un complicato sistema non lineare di dieci equazioni differenziali alle derivate parziali. Einstein pensava che non si potessero risolvere esattamente in nessun caso, ma qualche mese dopo la loro pubblicazione ricevette una lettera molto importante da Karl Schwarzschild.

Schwarzschild era un geniale astrofisico tedesco, prematuramente scomparso nel mattatoio della prima guerra mondiale, inviato sul fronte russo-tedesco contrae una malattia autoimmune incurabile, viene rimandato a casa e muore subito dopo. Mentre combatteva in trincea aveva risolto le equazioni di Einstein in un caso particolare, molto importante, un modello semplificato di un pianeta od una stella:
una massa sferica neutra e non rotante.

Solo mezzo secolo dopo saranno rimosse le condizioni di non rotazione e di carica elettrica nulla (soluzione di Kerr-Newman), mantenendo solo quella di simmetria sferica, per un modello più generale e realistico (si ritiene che la maggiorparte dei buchi neri siano rotanti e neutri).