7. Energia ed impulso

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title: IL MONDO A VELOCITA' VICINE A QUELLA DELLA LUCE 
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flowchart TD
     B1([ energia ed impulso non sono grandezze separate])
     B1 --> B2([energia ed impulso sono le coordinate di un vettore nello spaziotempo, l'enermoto])
     B2 --> B3([la quantità di enermoto è la stessa per tutti gli osservatori.])

Energia ed impulso.

Nello studio del moto di un corpo, oltre alla sua posizione nello spazio in un certo istante di tempo, due grandezze importanti sono la sua energia e l’impulso, o quantità di moto, prodotto della massa per la velocità.

La velocità di variazione dell’impulso è uguale alla forza esercitata, per la seconda legge della dinamica di Newton.

Simmetrie globali e principi di conservazione

Dalle simmetrie dello spazio e del tempo derivano i principi di conservazione delle grandezze fisiche:

• le leggi della fisica sono le stesse in ogni istante di tempo
  ==> invarianza delle leggi fisiche per traslazione temporale
  ==> principio di conservazione dell’energia

• le leggi della fisica sono le stesse in ogni punto dello spazio
  ==> invarianza delle leggi fisiche per traslazione spaziale ==> spazio omogeneo
  ==> principio di conservazione dell’impulso (prodotto della massa per la velocità)

• le leggi della fisica sono le stesse in tutte le direzioni dello spazio

  ==> invarianza delle leggi fisiche per rotazione ==> spazio isotropo
  ==> principio di conservazione del momento angolare (prodotto di impulso per il raggio di rotazione)

Energia ed impulso di un corpo in moto non sono indipendenti

A velocità vicine a quelle della luce, analogamente a quello che succede per spazio e tempo, energia ed impulso non sono grandezze indipendenti ma le quattro coordinate di un vettore energia-impulso in uno spazio a quattro dimensioni (l’energia è la coordinata temporale, le tre componenti dell’impulso sono le tre coordinate spaziali), chiamato da alcuni autori (Wheeler) *enermoto.
*La lunghezza dell’enermoto è una grandezza invariante, identica per tutti gli osservatori in moto relativo uniforme tra di loro.

Sempre partendo dal fatto che la velocità della luce è una velocità limite, si ricavano le relazioni tra energia ed impulso (quantità di moto) a velocità vicine a quelle della luce, e la relazione tra massa ed energia.

Si trova anche che l’energia totale di un corpo è composta da tre parti:

• energia potenziale dovuta alle eventuali forze esterne
• energia cinetica dipendente dalla velocità del corpo in quel sistema di riferimento
• una energia di base, presente anche quando il corpo è fermo rispetto all’osservatore, proporzionale alla massa a riposo. Più precisamente è uguale alla massa a riposo moltiplicata per il quadrato della velocità della luce.

L’ultimo termine, l’energia a riposo proporzionale alla massa, permette di spiegare il bilancio energetico di tanti fenomeni del mondo microscopico, scoperti successivamente e studiati dalla meccanica quantistica, in cui la materia si trasforma in energia o viceversa.

Principi di conservazione e covarianza

Invece di principi di conservazione separati avremo un principio di conservazione dell’energia-impulso per l’omogeneità dello spazio-tempo, cioè tutti i punti dello spazio-tempo sono equivalenti e non esistono punti privilegiati. i principi di conservazione legati alle simmetrie globali dello spazio-tempo si aggiungono al requisito di covarianza, **l’**invarianza delle leggi fisiche per trasformazioni di Lorentz delle coordinate.

Impulso ed energia nella relatività speciale

**Impulso nella meccanica classica
**L’impulso p, o quantità di moto, è è il prodotto di una massa per la sua velocità:

la freccia sopra indica che sono vettori, cioè hanno anche una direzione e tre componenti spaziali, mentre la massa a riposo è uno scalare, un numero

**Energia cinetica nella meccanica classica
**L’energia cinetica K è data dalla formula

Legge del moto
La legge del moto di Newton, forza uguale a massa per accelerazione, F = ma, si può riscrivere spostando a destra la causa (la forza) ed a sinistra l’effetto, e sostituendo la definizione di impulso come

La massa m qui è l’inerzia, cioè la resistenza all’accelerazione

Impulso relativistico

L’impulso in relatività ristretta deve essere ridefinito rispetto alla fisica classica, in cui è il prodotto di massa e velocità, per tener conto della dilatazione dei tempi. Se:

• p è l’impulso di un corpo di massa a riposo m e velocità v
• m è la massa a riposo del corpo, in un sistema di riferimento in cui è fermo
• γ è il fattore di Lorentz per la velocità relativa v

L’impulso e la velocità sono vettori 3D, con tre componenti lungo gli assi cartesiani.

Relazione tra impulso, energia e massa per m > 0 e v < c

Nella relatività ristretta energia totale ed impulso sono legati tra di loro come lo spazio ed il tempo:

• sono le quattro coordinate di un vettore in un spazio a quattro dimensioni (E/c, p_(x) , p_(y) , p_(z) )
• l’energia si divide per c per avere dimensioni omogenee
• (p_(x) , p_(y) , p_(z) ) sono le componenti lungo i tre assi cartesiani di un vettore 3D di modulo

Energia totale e modulo dell’impulso sono legati dalla formula

La prima grandezza a sinistra è la stessa per tutti gli osservatori in moto relativo uniforme, un invariante tra sistemi di riferimento inerziali.

Nello spaziotempo a quattro dimensioni è il quadrato della lunghezza del vettore energia-impulso.

Nella formula può comparire solo la lunghezza del vettore 3D impulso perchè lo spazio è isotropo, non ha una direzione privilegiata.

Energia totale e massa

Dalle relazioni precedenti per impulso ed energia si ricava la formula per l’energia totale relativistica di un corpo in moto, libero, cioè non soggetto a forze esterne e quindi con energia potenziale nulla. Se:

• E è l’energia totale di un corpo, di massa a riposo m, in movimento con velocità v

• m è la massa a riposo del corpo, in un sistema di riferimento in cui è fermo

• γ è il fattore di Lorentz per la velocità relativa v

• c è la velocità della luce

Energia in quiete
Supponiamo che un corpo di massa m sia fermo per l’osservatore, sappiamo che γ = 1 se v = 0, quindi ricaviamo per l’energia E₀ di un corpo in quiete il valore:

Quindi un corpo possiede energia anche se è fermo nella teoria della relatività ristretta, ed anzi si tratta di una grandissima quantità di energia anche se la massa m è piccola, perchè il quadrato della velocità della luce c² è un numero molto grande.

Energia cinetica

Torniamo al caso generale di un corpo in movimento con velocità v, utilizzando le formule precedenti per l’energia totale e l’energia a riposo possiamo calcolare l’energia cinetica K

Energia cinetica ed impulso per velocità piccole

Per v = 0 o comunque v << c, cioè nel caso in cui la velocità è molto piccola rispetto a quella della luce, si può approssimare γ con 1.

Ponendo γ = 1 nella formula dell’impulso relativistico si ritrova la formula della meccanica classica

Sempre se la velocità v è piccola rispetto a quella luce nella formula per l’energia cinetica si può utilizzare l’approsimazione lineare

ottenendo il limite per basse velocità dell’energia cinetica, in cui si elimina la costante c

non a caso è la stessa formula della meccanica classica, in cui ricade la relatività ristretta nel caso in cui le velocità in gioco sono piccole rispetto a quelle della luce.

Energia ed impulso per una particella di massa nulla

Nel caso particolare di particelle che si muovono sempre alla velocità della luce c il fattore gamma di Lorentz diverge ad infinito, quindi non è immediato utilizzare le formule precedenti.

Se m = 0 la particella si muove sempre alla velocità della luce c, ed il rapporto tra energia totale ed il modulo dell’impulso è costante ed uguale alla velocità della luce

L’ultima formula è utile per definire l’impulso di un fotone, un quanto di luce di energia E uguale alla costante di Planck moltiplicata per la frequenza

Equazione del moto della relatività speciale
La legge del moto, noto anche come equazione di Minkowski, nella relatività speciale è

formalmente la stessa della meccanica classica, a parte che il valore dell’impulso non è lo stesso, ma per alte velocità è corretto con il fattore gamma di Lorentz.

erchè brillano il Sole e le stelle: energia dalle reazioni nucleari

Nelle stelle, come il Sole, i nuclei di elementi più leggeri, come l’idrogeno, si combinano con una reazione di fusione nucleare per formare nuclei più pesanti e più stabili, come l’elio, liberando energia nel processo.

La fusione nucleare è la fonte di energia dell’Universo.

In questi processi la somma delle masse dei reagenti iniziali è leggermente superiore a quella dei prodotti finali, ad es. dello 0,5%, la differenza di massa è stata convertita in energia.
La relatività ristretta con la sua relazione tra massa ed energia spiega la produzione di energia e permette di calcolarla con precisione. Infatti la quantità di energia liberata nel processo è la differenza di massa moltiplicata per il quadrato della velocità. Un’altra brillante prova della validità della teoria.

1. A.Sommerfeld, in “Naturwissenschaft Rundschau”, 1, pg. 97. Articolo ristampato in “Gesammelte Schriften”, IV, pg. 640 (1968)
   Cit. in John Wheeler, Edwin Taylor - “Spacetime Physics”, cap. 3, “Stessa legge per tutti” (titolo decisamente non scelto a caso)↩︎