6. Un pò di formule
La separazione degli eventi nello spaziotempo
Nello spazio ordinario 3D, piatto ed euclideo, la distanza dall’origine s di un punto P con coordinate (x,y,z) si ricava dalla formula
che in due dimensioni si riduce al noto teorema di pitagora
Nello spazio-tempo a quattro dimensioni un punto od evento è individuato da quattro coordinate (ct,x,y,,z), a quelle spaziali si aggiunge il tempo, moltiplicato per la velocità della luce in modo che le dimensioni siano omogenee.
Lo spazio-tempo 4D della relatività ristretta è “piatto” ma la distanza tra due eventi non è la stessa di uno spazio in cui vale la geometria euclidea. La sua geometria è piuttosto diversa da quello dello spazio ordinario a tre dimensioni.
Dati due eventi vicini nello spaziotempo con coordinate siano:
la separazione tra eventi, la stessa per tutti gli osservatori, è data dalla formula:
separazione tra eventi di tipo tempo
separazione tra eventi di tipo spazio
separazione tra eventi di tipo luce
1. Separazione di tipo tempo: intervallo di tempo positivo tra i due eventi, gli eventi sono connessi da un segnale che si muove a velocità inferiore a quella della luce, è possibile andare da un evento all’altro seguendo una traiettoria a velocità inferiore a quella della luce.
2. Separazione di tipo spazio: intervallo di spazio positivo tra i due eventi, gli eventi non sono connessi da alcun segnale che si muova a velocità inferiore o uguale a quella della luce, non è possibile andare da un evento all’altro seguendo una traiettoria a velocità inferiore o uguale a quella della luce.
3. Separazione di tipo luce: intervallo di spazio e tempo nullo tra i due eventi, gli eventi sono connessi da un segnale che si muove alla velocità della luce, è possibile andare da un evento all’altro seguendo una traiettoria a velocità esattamente pari a quella della luce.
Solo gli eventi con separazione di tipo tempo sono ordinabili nel tempo, mentre gli eventi con separazione di tipo spazio non hanno un ordine temporale definito tra loro.
Tempo proprio
Vale la formula
dove:
- è un intervallo di tempo proprio, cioè il tempo misurato da un osservatore solidale ad un evento, cioè che si muove insieme ad esso
è l’intervallo di tempo misurato da un osservatore di riferimento, in quiete rispetto all’evento.
sono gli intervalli di coordinate spaziali misurati dall’osservatore di riferimento.
Quando l’osservatore solidale all’evento si muove a velocità costante rispetto all’osservatore di riferimento,
dove è il fattore di Lorentz, abbiamo così ricavato la formula 
il tempo proprio di un evento è sempre minore o uguale al tempo misurato da un osservatore esterno, un fenomeno noto come dilatazione del tempo della relatività speciale
Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
sono intervalli di tempo e lunghezza misurati da un osservatore considerato fermo
sono intervalli di tempo e spazio misurati da un osservatore in un sistema di riferimento inerziale in moto relativo uniforme con velocità v rispetto a quello dell’osservatore fermo
Dilatazione dei tempi: 
Contrazione delle lunghezze:
A1 Trasformazioni di Lorentz e di Galileo
Nota: questo paragrafo si può saltare in una prima lettura
Siano:
- le coordinate di un sistema di riferimento inerziale
le coordinate in un altro sistema di riferimento inerziale, in moto rettilineo uniforme rispetto al primo, con velocità v, nella direzione dell’asse delle x
Le regole di trasformazione di coordinate tra i due osservatori sono le trasformazioni di Galileo in meccanica classica, le trasformazioni di Lorentz nella relatività speciale
Trasformazioni di Galileo
il tempo è lo stesso per i due osservatori, è assoluto.
Trasformazioni di Lorentz
tempo e spazio variano e sono legati tra di loro nelle formule. Queste trasformazioni lasciano invariate la formula per la separazione tra eventi nello spaziotempo e le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo.
Limite classico
Le trasformazioni di Galileo sono il limite di quelle relativistiche di Lorentz quando
infatti riscriviamo le trasformazioni di Lorentz usando il rapporto
Per si può porre nella trasformazione di Lorentz come ottima approssimazione
ottenendo le trasformazioni di Galileo
in cui il tempo è assoluto e non dipende dallo spazio percorso e dalla velocità relativa degli osservatori.