5. Un pò di numeri
Primo comandamento di Wheeler:
« Non fare mai un calcolo finché non conosci la risposta.
Fai una stima prima di ogni calcolo,
prova un semplice argomento fisico (simmetria! invarianza! conservazione!) prima di ogni derivazione,
prova ad indovinare la risposta ad ogni paradosso e rompicapo»
John Archibald Wheeler1
Ragionamenti qualitativi e quantitivi
Finora nell’espozione dei concetti della teoria della relatività la matematica non è stata praticamente usata. Questo la rende incompleta ed insufficiente.
Non si può veramente pensare, ragionare, definire dei concetti, comprendere il mondo senza utilizzare un linguaggio potente ed universale come quello della matematica: algebra, geometria, numeri, dati, tabelle, grafici, formule, calcolo differenziale ed integrale,…
Il linguaggio matematico non è ambiguo ed è lo stesso per ogni essere umano, indipendentemente dalla lingua parlata che usa nella vita quotidiana e dal paese in cui si trova.
Inoltre senza formulare i concetti con un rigoroso formalismo matematico è impossibile ricavare da una teoria delle previsioni numeriche, quantitative, da confrontare con i risultati sperimentali per verificare se un’ipotesi è corretta oppure sbagliata.
La descrizione del mondo con un modello matematico per effettuare previsioni è la base del metodo scientifico e del progresso dell’umanità negli ultimi secoli. Nessuno ha mai potuto smentire “l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali” (titolo di un celebre volumetto di Eugene Wigner) .
Tra l’altro la matematica della relatività ristretta è veramente semplice e non ci sono quindi scuse (il discorso è un pò diverso per la relatività generale).
Il fattore γ di Lorentz
In tutte le formule della relatività ristretta compare un fattore numerico adimensionale, il fattore γ (gamma) di Lorentz, che dipende dal rapporto v/c tra la velocità v del corpo in movimento uniforme, o dell’osservatore in un sistema di riferimento inerziale solidale con il corpo, e la velocità c della luce nel vuoto.Per esempio, supponendo che sia t il tempo misurato dall’orologio di un osservatore fermo a terra rispetto ad una astronave in moto nello spazio con velocità v, ed invece t’ il tempo misurato da un orologio sull’astronave, la formula per la dilatazione relativistica dei tempi è: t = γ t ‘
Ad essere più precisi γ dipende dal quadrato del rapporto tra v e c, ed è una funzione γ(v) della velocità v, essendo c una costante.
- se la velocità v del corpo è zero, oppure la velocità c della luce è infinita.
In questo caso la relatività ristretta porta agli stessi risultati della meccanica classica non relativistica, ad esempio t = t’ ==> il tempo è assoluto ed uguale per tutti gli osservatori - se il rapporto tra v e c è molto piccolo. Se è tanto piccolo da non essere praticamente misurabile si può assumere che sia uguale a zero, quindi e si ricade nel caso precedente, il tempo è assoluto, vale la meccanica classica non relativistica.
- se la velocità v è vicina alla velocità c della luce, se il fattore di Lorentz è un numero molto grande la meccanica classica porta a risultati completamente sbagliati e bisogna applicare la dinamica relativistica.
- se v = c , solo per particelle di massa nulla, come i fotoni che trasportano la luce
Quanto vale il fattore γ di Lorentz
Per capire se applicare la meccanica classica e la relatività di Galileo, con il suo tempo assoluto, oppure la relatività di Einstein , con il suo tempo relativo, bisogna vedere quanto vale γ
Sotto una tabella di valori ed un grafico della curva γ in funzione di v/c:
| 0 | 1 |
| << 0,001 | ~ 1 |
| 0,001 | 1,0000005 |
| 0,01 | 1,00005 |
| 0,05 | 1,001 |
| 0,1 | 1,005 |
| 0,5 | 1,155 |
| 0,6 | 1,250 |
| 0,75 | 1,512 |
| 0,9 | 2,294 |
| 0,95 | 3,202 |
| 0,99 | 7,089 |
| 0,999 | 22,366 |
| 0.99995 | 100,00 |
| 1,0 | ∞ |
Praticamente γ si può approsimare con 1 finchè le velocità in gioco sono almeno un paio di ordini di grandezza più piccole rispetto a quello della luce.
Rapporto v/c e fattore γ di Lorentz su scale umane e terrestri
| Lumaca | 0,00468 | 0,0013 | ||
| Uomo(maratoneta) | 21 | 5,8 | 1,94 10⁻⁸ | 1.0000000000000003 |
| Uomo (velocista) | 36 | 10 | 3,33 10⁻⁸ | 1.0000000000000006 |
| Cavallo (galoppo) | 72 | 20 | 6,67 10-⁸ | 1.000000000000002 |
| Nave | 54 | 15 | 5,00 10⁻⁸ | 1.000000000000001 |
| Auto (media in autostrada) | 108 | 30 | 1,00 10⁻⁷ | 1.000000000000005 |
| Treno alta velocità | 360 | 100 | 3,33 10⁻⁷ | 1.00000000000005 |
| Auto (Ferrari F50 GT1) | 380 | 105 | ||
| Aereo di linea | 900 | 250 | 8,33 10⁻⁷ | 1.00000000000035 |
| Suono (livello mare, atm.standard) | 1225 | 340 | ||
| Rotazione terrestre all’equatore | 1670 | 465 | ||
| Jet supersonico | 3600 | 1.000 | 3,33 10⁻⁶ | 1.000000000005 |
| Missile balistico | 27.000 | 7.500 | 2,50 10⁻⁵ | 1.00000000031 |
| Astronave in orbita | 28.080 | 7.800 | 2,60 10⁻⁵ | 1.00000000034 |
| Satellite in orbita | 28.800 | 8.000 | 2,67 10⁻⁵ | 1.00000000036 |
| Terra in orbita attorno al sole | 107.300 | 29.800 |
Dalla tabella si vede che nel mondo macroscopico la relatività non è granchè utile, e si può ragionare in termini di tempo assoluto, almeno finchè non abbiamo a che fare con razzi, astronavi, satelliti e pianeti.
Ma anche in questi casi l’errore nella misura del tempo sarebbe piccolo e trascurabile se non si utilizzassero strumenti di misura estremamente precisi e sofisticati, come gli orologi atomici.
Fanno eccezione i casi in cui i piccolissimi errori si accumulano rapidamente, e potrebbero portare a risultati disastrosi. Ad esempio la localizzazione satellitare GPS, che se non utilizzasse la teoria della relatività nel giro di un mese manderebbe a sbattere a 500Km di distanza da dove uno dovrebbe stare.
**Rapporto v/c e fattore γ di Lorentz su scala microscopica **
| Elettroni (deriva, conduzione) | 3,6 10⁻⁴ | 0,0001 | 0,33 10⁻¹² | 1,0000000 |
| Elettroni (agitazione termica) | 3,6 10⁵ | 100.000 | 1,000 | |
| Elettroni (orbite atomiche) | 7,92 | 2,2 10⁶ | 0,0073 | 1,0000269 |
| Elettroni (tubi catodici) | 1,0 10⁷ | 0,033 | 1,00055 | |
| Protone (acceleratori) | 2,5 10⁸ | 0,83 | 1,667 | |
| Muone (raggi cosmici) | 2,9 10⁸ | 0,9997 | 4,11 | |
| Fotone | 1,08 10⁹ | 299 792 458 | 1 ( v = c) | ∞ (infinito) |
Nel mondo microscopico la situazione è molto più varia:
Nello studio della struttura della materia in genere la velocità degli elettroni è talmente piccola che le correzioni relativistiche sono irrilevanti. La maggior parte delle ricerche più recenti ed avanzate di fisica degli stati condensati della materia utilizzano la meccanica quantistica non relativistica, facendo a meno della relatività di Einstein, superflua in questo contesto.
Per le particelle di altissima energia le cose cambiano completamente, si muovono a velocità vicine a quelle della luce e l’utilizzo della teoria della relatività ristretta è indispensabile.
Ad esempio i muoni dei raggi cosmici non arriverebbero mai a terra senza dilatazione relativistica del tempo.
La relatività allunga la vita: i muoni dei raggi cosmici
I raggi cosmici sono le radiazioni provenienti dallo spazio esterno (sole, stelle, supernovae, quasar,…) composte di particelle di energia molto varia. I pericolosi fasci di protoni ad altissima energia, per nostra fortuna, sono schermati dagli strati più alti dell’atmosfera, dove si trasformano in mesoni pi greco.
I mesoni pi greco sono particelle molto instabili che rapidamente decadono in muoni, una specie di elettrone pesante (circa 200 volte un elettrone normale), anche lui molto instabile. Infatti un muone decade rapidamente in un elettrone, un neutrino ed un antineutrino, con una vita media di circa 2 ms (microsecondi), in un sistema di riferimento in cui è fermo.
Fatto un semplicissimo conto, si trova che un muone percorre in media 600 metri prima di diventare un elettrone, e quindi non dovrebbe praticamente mai arrivare a terra.
Invece a terra ci arrivano, eccome, in quantità molto maggiori a quella prevista.
Per esempio i muoni sono i protagonisti di un fondamentale esperimento di tre giovani italiani, Marcello Conversi, Ettore Pancini
ed Oreste Piccioni, nella Roma del 1944 occupata dai nazisti e bombardata dagli alleati 2.
Un esperimento, nello scantinato di un liceo in via Giulia, che per molti studiosi e storici della scienza è l’atto di nascita ufficiale
della fisica moderna delle particelle e delle altissime energie.
Soluzione del mistero: i muoni sfrecciano ad una velocità molto vicina a quella della luce, circa il 99,9 %.
Quindi secondo la teoria della relatività, per un osservatore a terra il tempo si dilata e rallenta abbastanza per allungare la vita del muone di molte volte, fino a decine di ms.
In questo tempo molto più lungo il muone può percorrere agevolmente quei pochi chilometri che lo separano dalla superfice terrestre.
Vedere un muone arrivare a terra è una brillante conferma sperimentale della dilatazione dei tempi e della teoria della relatività ristretta.
Oggi nei moderni accelleratori ad alta energia le particelle sono accellerate a velocità vicinissime a quelle della luce con potenti campi magnetici, si scontrano e producono sciami di particelle instabili che si muovono anche esse ad altissima velocità, e la dilatazione relativistica dei tempi allunga la loro vita media anche di dieci volte. Per i fisici che lavorano con questi strumenti la relatività non è una teoria astrusa ma pane quotidiano.
Formula del fattore γ di Lorentz
Il fattore adimensionale, dipendente dal rapporto v/c tra velocità dell’osservatore e quella della luce, viene definito dalla formula:
Approssimazioni del fattore γ di Lorentz per piccole velocità
Se il valore di è tanto piccolo da essere veramente trascurabile, rispetto ad errori di calcolo e di misura sperimentale, come accade praticamente sempre nella nostra esperienza diretta:
Per una approssimazione un po’ più precisa, a velocità molto piccole ma non trascurabili
*Dimostrazione:
*Infatti ponendo nella formula del fattore gamma
diventa
ed utilizzando l’approssimazione alla curva con la retta tangente nell’origine
cioè una approssimazione lineare, del primo ordine:
si ottiene