Istruzioni per l'uso

teoria dei quanti e linguaggio matematico

Nelle immortali parole di Galileo Galilei, il più grande scrittore ed intellettuale italiano di tutti i tempi, “il libro della natura è scritto in lingua matematica”, anticipato da Leonardo da Vinci, “o studianti, studiate le matematiche, e non edificate senza fondamenti”.
Non si può non ammirare “l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali” di cui si stupiva sempre il premio Nobel Eugene Wigner. E per citare ancora Feynman (La legge fisica, cap.2): “A chi non conosce la matematica è difficile farsi un’idea della bellezza, della bellezza più profonda, della natura. … Se si vuole conoscere la natura, apprezzare la natura, è necessario capire la lingua in cui parla.”

Come un analfabeta non può leggere un libro, e non si può comprendere un libro scritto in una lingua che non si conosce,
non si può capire il mondo, senza comprendere la sua lingua: numeri, dati, grafici algoritmi, algebra, topologia, derivate ed integrali. Questo vale sia per le scienze “dure” (matematica, fisica, chimica, informatica,…) che per le scienze naturali e della vita, le scienze sociali, l’economia, la storia e la politica. La fisica teorica, regina delle scienze (“quello che non è fisica è collezione di francobolli” diceva esagerando parecchio Ernest Rutheford), con lo studio della meccanica quantistica, della meccanica statistica, degli stati aggregati della materia, dei sistemi dinamici caotici e dei sistemi complessi in generale fornisce la base dello studio interdisciplinare di tutti gli altri rami del sapere.

Quindi per i concetti di una teoria fisica come la meccanica quantistica non bastano mai le parole, non possono essere pienamente compresi senza matematica molto avanzata e complicata:

analisi matematica di funzioni di una o più variabili reali, e di variabili complesse, serie, trasformate, derivate, integrali, equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali, calcolo delle variazioni
algebra lineare, spazi vettoriali, spazi di Hilbert e Banach ad infinite dimensioni, analisi funzionale, teoria spettrale degli operatori sugli spazi di Hilbert
Rappresentazioni dei gruppi di Lie e loro algebre, geometria differenziale, fibrati, topologia
…

Tutta questa matematica, che richiede molti anni di studi, è indispensabile per leggere i lavori originali, i manuali universitari sulla materia, e nel lavoro quotidiano degli specialisti, dei fisici che si occupano di teorie quantistiche, nei calcoli precisi dalla teoria da cui si ricavano le previsioni verificabili sperimentalmente, e nelle applicazioni tecnologiche.

Ma è un grosso errore pretendere di capire tutto subito, e studiare fin dall’inizio in modo rigoroso e troppo approfondito, equivale a precipitare in una infinita tana del Bianconiglio, senza la certezza di toccare il fondo, come riesce ad Alice, ma solo nel paese delle meraviglie.
Molto meglio procedere per passi, e chi non aspira a diventare uno specialista della materia può anche fermarsi prima.

primo sguardo: matematica da scuola dell’obbligo

All’inizio è utile provare a dare un’idea dell’argomento, separando il significato fisico dai formalismi matematici, sia ai curiosi, all’uomo della strada che fa tutt’altro mestiere (layman per gli anglofoni), che ai futuri studenti di fisica, matematica, ingegneria od altre materie scientifiche. Il primo passo è una esposizione concettuale, con immagini, analogie, e senza richiedere nessun prerequisito matematico superiore alla scuola dell’obbligo:

le quattro operazioni aritmentiche, numeri decimali, percentuali
potenze di 10, elevamento a potenza
dimensioni ed unità di misura,
diagrammi, grafici,
e poco altro, smussando tutte le complicazioni ed evitando calcoli.

In un primo sguardo si proverà ad introdurre la teoria dei quanti inseguendo le seguenti metafore:

paesaggio: passare in rassegna una teoria con una vista a volo di uccello sul vasto paesaggio di montagne da scalare e valli ben nascoste
gemma: paragonare la teoria ad una gemma grezza che rivela via via nella paziente lavorazione brillantezza e colori di mille sfaccettature
trailer: raccontare una teoria come in un trailer cinematografico, che attraverso una serie di immagini ti invoglia a vedere l’intero film. Un obiettivo complicato perchè le cose vanno spiegate nel modo più semplice possibile, ma bisogna stare attenti non essere troppo semplici, e mantenere qualche difficoltà. altrimenti si crea solo l’illusione di aver capito e tanti fraintendimenti.

Da evitare le introduzioni divulgative di fisica fiabesca e giochetti matematici curiosi, piene di argomenti al limite della fantascienza sulle grandi domande a cui non si sa rispondere, infarciti di pettegolezzi storici, la deprecabile “fisica fiabesca” (“fairy-tale physics”, cit. Jim Baggott), esempio di cattiva scienza e pessima divulgazione. Molti divulgatori, anche eminenti studiosi, spesso usano un linguaggio troppo semplice, completamente privo di formule ed algoritmi, banalizzando troppo i concetti più importanti. Con il risultato di vendere molte più copie ed entrare nei bestseller di saggistica, ma creando nei lettori profani tanta confusione, fraintendimenti, pippe mentali e la falsa illusione di aver finalmente compreso qualcosa quando non hanno capito nulla. Peggio ancora ci sono tantissimi cialtroni (giornalisti, filosofi, letterati, …) senza una seria formazione scientifica, che pubblicano porcherie senza senso su cose di cui non sanno nulla e non capiranno mai nulla, farcite di parole che gli sembrano di moda come quantistico, indeterminazione e relatività.

Scriveva, sempre Feynman, nella prefazione al suo piccolo capolavoro divulgativo “QED. La strana teoria della luce e della materia”:
“Molte «volgarizzazioni» scientifiche raggiungono un’apparente semplicità solo a costo di descrivere qualcosa di diverso da ciò che affermano di descrivere, e anzi di notevolmente distorto. Il rispetto per l’argomento trattato non ci ha permesso di fare altrettanto. Attraverso molte ore di discussione ci siamo sforzati di raggiungere la massima semplicità e trasparenza, rinunciando però a qualsiasi compromesso che portasse a una distorsione della verità”.

secondo passo: matematica dei licei

Il secondo passo verso una comprensione base è rivedere tutte le introduzioni elementari facendo qualche calcolo che utilizza la matematica dei licei, ma niente di più:
algebra elementare, geometria analitica, funzioni trigonometriche, andamento lineare ed esponenziale, stime ed approssimazioni, definizioni elementari di derivata, integrale, probabilità …
Le esposizioni che utilizzano solo il linguaggio comune, senza formule, grafici, tabelle, portano solo ad infiniti fraintendimenti, all’errata convizione di aver capito qualcosa quando non si è capito nulla, ed a tante pippe mentali su concetti che non si possono esprimere a parole.

terza passo: matematica dei primi anni universitari

Infine, in una terza fase, ed ultima per chi non aspira a diventare uno scienziato professionista, con un pò più di sforzo e diverse competenze, l’uomo qualunque curioso può cominciare a capire le idee più importanti e basiliari della fisica. Ma per questo bisogna avere una cultura matematica superiore a quella che viene insegnata nei licei, non spaventarsi mai di fronte a delle formule, conoscere almeno i concetti base di argomenti come:

numeri complessi, vettori, spazi vettoriali ed algebra lineare
probabilità e statistica
calcolo differenziale ed integrale

Inoltre dovrebbe aver sentito parlare, almeno a livello elementare ed intuitivo di:

algebra astratta e gruppi di simmetria
topologia e geometrie non euclidee Naturalmente non al livello di un laureato in matematica ma ad esempio a quello di laurea breve interdisciplinare in discipline umanistiche o sociali in una università di arti liberali interdisciplinare statunitense (Liberal Arts College).

Sono nozioni che dovrebbero far parte del bagaglio culturale di tutti, di ogni buon cittadino del mondo, per le loro infinite applicazioni in tutti i rami della conoscenza:
matematica, fisica, chimica, informatica, ingegneria, biologia, ecologia, scienze naturali, economia, storia, scienze sociali e scienze umane,….
Ma purtroppo spesso non è così, per un grosso limite degli odierni sistemi formativi. Ne parlo più a lungo qui:

Matematica per Tutti

bibliografia ragionata

Per supporto a chi vuole veramente capire la fisica quantistica sono stati preparati dei percorsi di letture consigliate in una apposita sezione del sito:

Letture consigliate

“Probabilità e indeterminazione: la natura dal punto di vista della meccanica quantistica”, “Feynman’s Messenger Lectures”, Cornell University, novembre 1964.
I video ed i testi delle “Feynman’s Messenger Lectures” sono online all’indirizzo: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/messenger.html
Pubblicate anche nel volume “The character of Physical Laws”, MIT, cap.6, trad.it. “La Legge Fisica” (1993) a cura di L.Radicati di Brozolo.↩︎
Fisico teorico, divulgatore e suonatore di bonghi, premio Nobel 1965 per l’Elettrodinamica Quantistica. Creatore dei diagrammi omonimi e della fisica quantistica con gli integrali sui cammini. Ispiratore delle nanotecnologie e dei computer quantistici del nuovo millennio.
Alla domanda dei giornalisti sul perchè avesse vinto il premio rispose: “Se riuscissi a spiegarlo alla persona comune, non avrei meritato il Premio Nobel” (People, 22 luglio 1985)↩︎