Studiare matematica

Il potere dell’insegnamento raramente è di grandissima efficacia, tranne in quei casi felici e fortunati in cui è quasi superfluo.
Edward Gibbon, Miscellaneous Works, 5 voll., 2ª ed., London, J. Murray, 1814


Per ogni argomento non banale non è mai possibile dare a chi ignora completamente la materia delle risposte semplici ed eusarienti in poche parole, chiarendo rapidamente i loro dubbi. Ma è possibile intravedere i concetti chiave, le idee principali di ogni materia scientifica inseguendo tre metafore (Irving Adler ^[1]):

  • PAESAGGIO: passarla in rassegna con una vista a volo di uccello su un vasto paesaggio di montagne da scalare e valli ben nascoste
  • GEMMA: paragonarla ad una gemma grezza che rivela via via nella paziente lavorazione la brillantezza ed i colori di mille sfaccettature
  • TRAILER: raccontarla come in un trailer cinematografico, che attraverso una serie di immagini ti invoglia a vedere l’intero film.

Le cose vanno spiegate nel modo più semplice possibile. Ma non troppo semplici, altrimenti si creano solo l’illusione di aver capito e tanti fraintendimenti.
Invece all’opposto studiare tutto fin dall’inizio in modo troppo approfondito e rigoroso equivale a precipitare in una infinita tana del Bianconiglio, senza la certezza di toccare il fondo, come riesce ad Alice, ma solo nel paese delle meraviglie.
Questo è specialmente vero per la matematica, in cui la grande potenza dell’astrazione, della generalità e del rigore, non deve far dimenticare che quando si affronta un nuovo problema sono più importanti intuizione, approssimazioni, esempi particolari, applicazioni pratiche.


Brillanti studenti delle scuole secondarie e dei primi anni dell’università, e gli autodidatti motivati e di talento, le persone che non hanno avuto modo di seguire corsi formali di livello universitario sulla scienza moderna, o li hanno abbandonati, ma continuano a leggere ed informarsi per tutta la vita, interessati al linguaggio della matematica, dovrebbero:

flowchart TD
    A1([ Cercare le motivazioni nelle sue applicazioni <br> alla fisica, alle scienze, alla tecnologia, al mondo reale. ])
    A2([ Studiare vari esempi di applicazioni di un concetto, <br> per capire la necessità di una definizione generale, <br> che comprende tutti i vari casi ])
    A3([ Vedere a grandi linee lo sviluppo storico della materia, <br> nel suo contesto sociale e culturale ])
    A4([ Apprendere i principali concetti, definizioni informali <br> ed i risultati più importanti, <br> ignorando in un primo momento dimostrazioni ed esercizi ])
    A5([ Imparare a programmare e ad effettuare esperimenti <br> e simulazioni al calcolatore, <br> per collegare i concetti alle loro applicazioni ])
    A6([ Fare tanti esercizi con carta e penna, ginnastica per la mente, <br> oppure, se i problemi risolvibili solo numericamente, <br> continuare con gli esperimenti al computer ])
    A7([ Approfondire la materia studiando le definizioni rigorose, <br> gli assiomi e le dimostrazioni dettagliate dei principali teoremi ])
    A8([ Scrivere dei riassunti ed appunti per delle lezioni, <br> come se si dovesse insegnare tutto a qualcun altro  ])
    A1 ==> A2 ==>  A3 ==> A4 ==> A5 ==>  A6 ==>  A7 ==>  A8

La matematica è una parte della fisica.
La fisica è una scienza sperimentale, parte delle scienze della natura.
La matematica è quella parte della fisica in cui le esperienze costano poco.
L’identità di Jacobi (che costringe le altezze di un triangolo ad incontrarsi in un punto) è un fatto sperimentale allo stesso modo in cui la terra è tonda (cioè omeomorfa a una sfera). Ma può essere scoperta con minor spesa.
Verso la metà del ventesimo secolo si provò a dividere fisica e matematica. Le conseguenze si rivelarono catastrofiche. Intere generazioni di matematici si formarono senza conoscere metà della loro scienza e, naturalmente, nella totale ignoranza di qualsiasi altra scienza.
Cominciarono coll’insegnare la loro brutta pseudomatematica scolastica ai loro studenti, e poi agli alunni delle scuole (dimenticando il monito di Hardy che per la matematica brutta non c’è posto permanente sotto il sole).
Poiché la matematica scolastica tagliata fuori dalla fisica non è adatta né per l’insegnamento né per l’applicazione a qualsiasi altra scienza, il risultato è stato l’odio universale verso i matematici - sia da parte dei poveri alunni (alcuni dei quali divenuti nel frattempo ministri) che degli utilizzatori

Vladimir I. Arnold , Sull’insegnamento della Matematica, Russian Mathematical Surveys, vol.53, n.1, 1998, pp.229-234, trad.it. in PUNTI CRITICI N° 3 (MAGGIO 2000)


La provocazione di Arnold va contestualizzata nella polemica contro l’insegnamento della matematica ispirato dal gruppo Bourbaki, duramente criticato per due ragioni:

  1. Separazione tra Matematica e Fisica: Arnold critica la tendenza a separare la matematica dalle altre scienze, come la fisica, conseguenza del movimento bourbakista, portando a una generazione di matematici che non comprendono le altre discipline ed insegnano una “matematica scolastica” priva di applicazioni pratiche.

  2. Approccio Assiomatico e Formale: Il gruppo Bourbaki era noto per il suo approccio rigorosamente assiomatico e formale alla matematica, che Arnold considera troppo astratto e distante dall’intuizione e dall’applicazione pratica. Questo approccio, secondo Arnold, porta a un insegnamento che enfatizzava la derivazione logica di concetti incomprensibili, piuttosto che spiegare il loro significato e utilità.

In sintesi, Arnold critica il bourbakismo perché riteneva che ha reso la matematica troppo astratta e separata dalle altre scienze, perdendo di vista l’importanza dell’intuizione e dell’applicazione pratica.

Riferimenti:


Gli insegnanti cinesi adottano quattro principi fondamentali:
modellizzazione, padronanza, variazione e strutture matematiche.

  • La modellizzazione prevede l’uso simultaneo di rappresentazioni visive, simboliche e procedurali; ad esempio, nell’insegnamento delle frazioni, combinano modelli visivi di area, linea e insiemi con calcoli simbolici.
  • La padronanza assicura che ogni studente sviluppi una conoscenza profonda prima di progredire verso nuovi contenuti.
  • La variazione, attraverso esempi e controesempi, stimola il pensiero critico e la capacità di generalizzazione.
  • L’attenzione alle strutture matematiche porta l’insegnante a costruire concetti progressivamente, favorendo l’astrazione e la generalizzazione attraverso il dialogo e l’interazione costante con gli studenti

Riferimenti:

[1]: Irving Adler, Ruth Adler, Peter Ruane - A New Look at Geometry, 1° ed. 1966, new ed. 2013.
Adler è ben noto per la causa del 1952 presso la Corte Suprema degli Stati Uniti, Adler vs. Board of Education, con cui si faceva ricorso contro il licenziamento da tutte le scuole dei professori sospettati di idee politiche progressiste e di sinistra. Era il periodo particolarmente buio per la democrazia e la giustizia della caccia alle streghe maccartista, ed negli USA vennero emanate diverse leggi ed ordinanze liberticide.
Adler perse la prima volta in giudizio, e venne quindi prima sospeso dalla sua cattedra di matematica, ed in seguito licenziato. Ma continuò la battaglia per la libertà di insegnamento, riprovando altre volte, finchè quindici anni dopo la Corte Suprema gli diede ragione e reintegrò in servizio tutti gli insegnanti cacciati. Nel frattempo aveva molto tempo libero e scrisse oltre 50 volumi tra manuali di matematica e libri divulgativi.