Panoramica delle Geometrie
Che cos’è la Geometria?
| Spazio | Generico insieme i cui elementi sono detti punti |
| Topologia | Definizione generale ed astratta di concetti come vicinanza, continuità, connessione, compattezza e convergenza, e delle proprietà delle forme che non cambiano per deformazioni continue dello spazio, cioè senza tagli, strappi, sovrapposizioni ed incollature |
| Spazio topologico | Spazio con una topologia |
| Metrica | Definizione di distanza tra punti dello spazio, da cui deriva la definizione di lunghezze ed angoli |
| Misura | Definizione della grandezza di un sottoinsieme di punti dello spazio, da cui derivano la definizione di area, volume e così via |
| Spazio metrico | Spazio topologico in cui è definita una metrica, cioè una distanza tra due punti dello spazio, ed eventualmente una misura |
| Gruppo di trasformazioni | Insieme di operazioni che agiscono sui punti dello spazio, con proprietà come: 1. esistenza dell’inversa, 2. esistenza dell’identità od elemento neutro, 3. appartenenza al gruppo della combinazione di due trasformazioni, 4. indifferenza dell’ordine di valutazione di tre trasformazioni (associatività). |
| Simmetria | Proprietà dello spazio, o degli oggetti contenuti in esso, che rimane invariata dopo l’applicazione di una trasformazione di un dato gruppo |
| GEOMETRIA | Studio delle delle proprietà invarianti di uno spazio metrico rispetto ad un gruppo di trasformazioni, o simmetrie, che conservano la metrica |
Si chiama Topologia anche il ramo della matematica che studia gli spazi topologici, la base più importante
della matematica insieme all’Algebra Astratta ed al linguaggio unificante fornito dalla Teoria delle Categorie (funtori,
morfismi, strutture, classi ed insiemi). Il termine viene dal greco topos, “luogo”, e logos, “studio”.
La Topologia è la disciplina più generale alla base della Geometria.
Il concetto di gruppo viene dall’Algebra Astratta, che studia le strutture definite in un insieme con una o più operazioni algebriche. Esempi di strutture algebriche sono campo (numerico), spazio vettoriale, anello, reticolo, algebra (algebra su campo, algebra su reticolo,…) ed appunto gruppo.
Le simmetrie hanno importanza fondamentale non solo in Geometria ma anche nella Fisica Teorica, sono un ponte tra le due discipline. Infatti dalle simmetrie dello spazio o del sistema fisico considerato derivano i principi di conservazione (energia, quantità di moto, momento angolare, …) e la forma delle equazioni del moto, sia nella fisica classica che nella teoria quantistica dei campi, e nel modello standard delle forze fondamentali e delle particelle elementari. Inoltre i concetti di rottura spontanea di simmetria e di ordine topologico sono la base dello studio degli stati della materia.
Concetti fondamentali: Spazio, Topologia, Gruppo di trasformazioni, Simmetria, Metrica
graph TD
A([TEORIA DEI GRUPPI]) --- S(SIMMETRIE) --- G((GEOMETRIE))
B([TOPOLOGIA]) --- T(SPAZI <br> METRICI) --- G
La visione della Geometria come Geometria dei gruppi di trasformazioni è stata
delineata nel Programma di Erlangen (1872) di Felix Klein.
La sua estensione alla Topologia è opera di Poincarè(1895), Hausdorff(1914) ed altri nella prima metà del Novecento.
graph LR
T1([TOPOLOGIA]) ==> T2(Forma senza Misura)
G1([GRUPPI]) ==> G2(Misura delle Simmetrie)
N1([NUMERI]) ==> N2(Misura delle Dimensioni)
A1([NUMERI REALI]) ==> A2(Geometria 1D della retta)
B1([NUMERI COMPLESSI]) ==> B2(Geometria 2D del piano)
C1([QUATERNIONI]) ==> C2(Geometria 3D dello spazio)
D1([N-PLE DI REALI]) ==> D2( Geometria degli Spazi N-Dimensionali)
Nello studio di problemi geometrici si utilizzano metodi e strategie diverse che possiamo sintetizzare in
| Materia | Oggetto e Strumenti |
|---|---|
| Spazi vettoriali | Algebra lineare (e multilineare) per studiare vettori, operatori, tensori e come geometria analitica degli spazi ad n dimensioni |
| Teoria dei gruppi | Algebra astratta per lo studio in generale dei gruppi |
| Teoria dei grafi | Studio di strutture discrete composte di vertici (o nodi) e collegamenti tra i vertici |
| Topologia (e geometria) algebrica | Studio di spazi topologici e varietà algebriche con gli strumenti dell’algebra astratta |
| Topologia (e geometria) differenziale | Studio di varietà differenziabili, spazi fibrati, forme differenziali, connessioni, curve e superfici con gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale |
| Teoria dei nodi | Studio della topologia dei nodi, cioè di curve chiuse intrecciate in spazi a bassa dimensione |
| Geometria analitica | Sistemi di coordinate per ricondurre i problemi geometrici a problemi di algebra e calcolo differenziale ed integrale |
| Geometria sintetica | Dimostrazioni di teoremi a partire da opportuni postulati e costruzioni con riga e compasso |
Oggi nelle applicazioni scientifiche e tecnologiche i metodi più importanti sono i primi, mentre l’ultimo, la geometria sintetica antica, che si studia nei licei, non è praticamente mai utilizzato.
La relazione tra diverse geometrie e le trasformazioni studiate si possono riassumere in una tabella.
| Geometria | Trasformazioni | Descrizione |
|---|---|---|
| Topologia generale | omeomorfismi | deformazioni continue dello spazio |
| Topologia differenziale | diffeomorfismi | deformazioni continue che sono anche funzioni differenziabili |
| Geometria proiettiva | trasformazioni proiettive | proiezioni di un piano che non conservano distanze od angoli, ma solo alcune proporzioni, come il birapporto di quattro punti distinti allineati, inclusi punti impropri all’infinito |
| Geometria affine | trasformazioni affini | trasformazioni proiettive che conservano il parallelismo tra rette |
| - | traslazioni | spostamenti di una distanza fissata nella stessa direzione |
| - | omotetie | trasformazioni conformi ed affini che conservano gli angoli ma non le lunghezze |
| - | similitudini | composizione di omotetie ed isometrie |
| Geometria metrica | isometrie | trasformazioni che conservano la misura di distanze ed angoli, nelle geometrie euclidee e non euclidee |
| - | rotazioni | movimento di rotazione attorno ad un punto centrale fisso |
| - | riflessioni | trasformazioni speculari attorno ad un centro/asse/piano fissati |
La geometria metrica può essere euclidea oppure non euclidea.
La geometria euclidea è una geometria metrica con una definizione di distanze ed angoli tali da soddisfare il V postulato di Euclide, o postulato delle parallele, in cui valgono il teorema di Pitagora, il teorema della somma degli angoli di un triangolo e così via, le linee geodetiche sono delle rette.
Le geometrie non euclidee sono geometrie metriche con una definizione di distanze ed angoli tali da NON soddisfare il V postulato di Euclide, in cui non valgono il teorema di Pitagora ed il teorema della sommma degli angoli di un triangolo, e le linee geodetiche non sono delle rette.
La Geometria si basa quindi sulla Topologia, che studia le trasformazioni più generali dello spazio. In base al tipo di trasformazioni abbiamo una gerarchia di geometrie, dalla più generale a quelle più specializzate. Inoltre nell’era dei Computer e dell’Intelligenza Artificiale non si può certo trascurare il ruolo della geometria discreta e computazionale:
graph TD
A((TOPOLOGIA <br> Generale - Algebrica)) -------- A2([TOPOLOGIA <br> Discreta <br> Combinatoria])
A --- L([ANALISI <br> MATEMATICA])
A --- B([TOPOLOGIA <br> DIFFERENZIALE])
A --- G([SPAZI METRICI])
B --- L
B --- D((GEOMETRIA <br> DIFFERENZIALE))
G --- D
A ---- P([GEOMETRIA <br> PROIETTIVA])
P --- F(GEOMETRIA <br> AFFINE)
F --- E{SPAZI VETTORIALI <br> ALGEBRA LINEARE}
E --- H(SPAZI VETTORIALI <br> METRICI con norma<br> e/o prodotto scalare)
E --- S(GEOMETRIA<br>SIMPLETTICA)
D ----- K(GEOMETRIA <br> EUCLIDEA <br> Spazi piatti)
D ---- J(GEOMETRIE <br> NON EUCLIDEE <br> Spazi Curvi)
D --- H
D -.- S
P ------ M(GEOMETRIA <br> DESCRITTIVA)
P ------- N(GEOMETRIA <br> EPIPOLARE)
A2 --- C2(TEORIA DEI GRAFI <br>TEORIA DEI NODI)
A2 ---- B2((GEOMETRIA <br> DISCRETA))
B2 --- D2(GEOMETRIA <br> COMPUTAZIONALE)
B2 ---- D3(GEOMETRIA <br> DIGITALE)
B2 --- E2(TASSELLATURE)
B2 ---- F2(IMPACCHETTAMENTI)
B2 --- G2(POLITOPI)