Mathematics Form and Function - Mac Lane

Saunders Mac Lane - MATHEMATICS FORM AND FUNCTION

1° ed. 1986, ristampa 2012 « Incredibly beautiful. …
If you know the maths read it for the simple joy and new perspective. If you don’t know the maths read it to get a sense of what beautiful things exist and what’s out there to learn. »

[Incredibilmente bello. …
Se conoscete la matematica leggetelo per puro piacere e nuove prospettive. Se non conoscete la matematica leggetelo per farvi un’idea di quante cose belle esistono là fuori da imparare.] (Anomimo Recensore Online)


Nella matematica moderna sono stati sviluppati linguaggi e concetti sempre più generali ed astratti, per qualcuno astrusi. La rivoluzione è iniziata 150 anni fa con la Teoria degli Insiemi di Georg Cantor (“nessuno ci potrà cacciare dal paradiso che Cantor ha creato per noi”, diceva David Hilbert), ed è proseguita nella prima metà del XX secolo con lo studio di “strutture” definite sugli insiemi. Strutture che possono essere algebriche, topologiche, discrete od altro. Infine nel secondo dopoguerra è nata la Teoria della Categorie, che studia le relazioni tra le strutture matematiche con le nozioni di classe, oggetti, morfismi e funtori. E’ un concetto unificante di base per la matematica pura ed applicata, l’informatica teorica e la fisica matematica.

I creatori del nuovo linguaggio generale per queste discipline sono Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, l’autore di questo bellissimo volume. L’opera passa in rassegna l’intera matematica, inclusa l’origine dei suoi concetti e le relazioni più profonde tra di esse, e con le attività umane, sia astratte che concrete. Ma non è un testo di storia della materia e non segue l’ordine cronologico. Il risultato è un libro che viene letto con grande piacere anche da chi non è un matematico professionista (per esempio chi scrive, fisico ed informatico), per riflettere sulle basi della matematica, e guardare con un nuovo punto di vista i concetti più importanti.

Il testo è diviso in 12 capitoli:

  1. Origine della struttura formale
  2. Dai numeri interi ai razionali
  3. Geometria
  4. Numeri Reali
  5. Funzioni, Trasformazioni e Gruppi
  6. Concetto di Calcolo
  7. Algebra Lineare
  8. Forme dello Spazio
  9. Meccanica
  10. Analisi Complessa e Topologia
  11. Insiemi, Logica e Categorie
  12. La Rete Matematica

per un totale di circa 480 pagine.


Come spiega lo stesso autore nell’introduzione:

Questo libro intende descrivere le origini pratiche e concettuali della matematica e il carattere del suo sviluppo, non in termini storici, ma in termini intrinseci. Ci chiediamo quindi: qual è la Funzione della Matematica e qual è la sua Forma? Per affrontare efficacemente questa domanda, dobbiamo innanzitutto osservare che cos’è la Matematica. Per questo il libro inizia con una rassegna delle parti fondamentali della Matematica, in modo da rispondere alle questioni generali sulla base formata da una attenta unione dei fatti più rilevanti.

In breve, una filosofia della matematica non è convincente se non è fondata su un esame della matematica stessa. Da questo punto di vista Wittgenstein e gli altri filosofi hanno fallito. »

Il volume è piuttosto costoso e difficilmente reperebile, da consultare in biblioteca, od acquistare usato d’occasione.


Saunders Mac Lane (1909 - 2005) è considerato uno dei più influenti matematici del XX secolo. Con Eilenberg ha fondato nel 1945 la Teoria delle Categorie, un nuovo linguaggio per la Matematica. Si è occupato di logica matematica, topologia algebrica, algebrica omologica, filosofia della matematica. Ha rinnovato l’insegnamento della materia, pubblicando celebri manuali come “A Survey of Modern Algebra” (con G. Birkhoff) e “Categories for the Working Mathematician”.