Elementi di Matematica - Stillwell

John Stillwell - “Elements of Mathematics: From Euclid to Godel”, Princeton University Press, 1° ed., 2016
John Stillwell - “Da Pitagora a Turing. Elementi di filosofia nella matematica”, ETS Pisa, 2018

Una cosa molto frustante per gli studenti, sia al liceo che all’università, è il fatto che non seguono mai un corso di matematica. Cioè seguono dei programmi di geometria, di algebra elementare, di trigonometria, di analisi ma non vedono mai ad un corso che riveli la sostanziale unità della matematica come creazione del pensiero, i tanti collegamenti tra i diversi rami all’apparenza lontani tra loro, i rapporti con le altre scienze, le applicazioni, il contesto storico e sociale. Da questo punto di vista i libri del Prof. John Stillwell sono una lettura utilissima per tutti, e specialmente per gli studenti delle scuole superiori e dei primi anni delle università.
“Elements of Mathematics”, tratta soprattutto branche della matematica già viste al liceo, spiegate in modo completamente diverso, con un nuovo punto di vista. Ogni argomento viene trattato in modo chiaro, conciso e sintetico con i principi di base, esempi, problemi, applicazioni e collegamenti alle altre aree della matematica, note storiche ed implicazioni filosofiche.
Un altro volume dello stesso autore, “Mathematics and its History”, leggermente più avanzato, più completo e ponderoso (circa 660 pagine contro le 400 di questo), offre una panoramica della matematica che si incontra all’università, ne parleremo in dettaglio in un altro post.

Il volume vuole celebrare il centenario dalla pubblicazione di “Matematica elementare da un punto di vista superiore” (1908), di Felix Klein, ed il suo filo conduttore è mostrare come non tutti gli argomenti che fanno parte della matematica elementare di oggi sono sempre stati considerati tali, ma lo sono diventati solo a seguito di grandi progressi e scoperte matematiche. Vuole dare una vista a volo d’uccello della disciplina dal punto di vista d uno scienziato del XXI secolo, alla ricerca della bellezza e della portata della materia, ed anche dei suoi limiti. Il confine tra “elementare” ed “avanzato” è il tentativo di addomesticare l’infinito.

Le dieci sezioni in cui è diviso sono:

Nozioni elementari (di aritmetica, algebra, geometria, calcolo, …)
Aritmetica (primi, interi gaussiani, frazioni continue, equazione di Pell, …)
Matematica Computazionale (operazioni elementari, problemi P e NP, macchine di Turing,..)
Algebra ( anelli, campi, spazi vettoriali, …)
Geometria ( numeri e geometria, geometria euclidea, geometria degli spazi vettoriali,…)
Calcolo ( tangenti, derivate, aree curve, integrali, serie, funzioni elementari,…)
Combinatoria ( infinità dei primi, coefficienti binomiali, piccolo teorema di Fermat, teoria dei grafi, alberi, grafi e reti planari,…)
Probabilità ( la rovina del giocatore, cammini aleatori, medie, curva di Bell,…)
Logica (logica proposizionale, induzione, aritmetica di Peano, reali, infinito, insiemi, matematica inversa, …)
Un pò di matematica avanzata ( eq. Pell, macchina di Turing, il teorema fondamentale dell’algebra, la linea proiettiva, il prodotto di Wallis, la teoria di Ramsey, la distribuzione di de Moivre, il teorema di completezza,…)

Conclude l’opera una ricca bibliografia. Il prezzo è ottimo per il valore dell’opera, circa 16€ per l’ebook e 20€ per la versione stampata.

“Elements” of Mathematics è prima di tutto un libro di matematica, da leggere anche facendo calcoli e risolvendo qualche problema, anche se non è pensato come manuale o libro di testo, e non è direttamente utile per superare nessun esame. Per i lettori italiani negati nella materia, umanisti, filosofi, poeti, ecc., c’è un altro volume, meno impegnativo, lungo meno della metà delle pagine, e con un linguaggio più semplice: “Da Pitagora a Turing: Elementi di filosofia nella matematica” (notare il “nella matematica”, e non “della matematica” che sarebbe un altro sport). Include lezioni e conferenze raccolte e curate da Rossella Lupacchini, docente di filosofia della scienza nella facoltà di Lettere e Filosofia dell’Università di Bologna. Non mi risulta ci sia l’edizione in inglese, l’autore ha riscritto il testo appositamente per le scuole italiane. Si rivolge quindi anche a chi vuole conoscere le implicazioni filosofiche della materia. oltre che ovviamente a studenti, matematici ed appassionati di scienza. E’ un viaggio negli oltre due millenni separano la scoperta dei numeri irrazionali, a opera dei pitagorici, dalla rigorosa definizione del concetto di numero reale computabile da parte di Alan Turing. Attraverso progressivi affinamenti dell’analisi concettuale, il divario tra numeri e geometria venga a ricomporsi in un fecondo rapporto dialettico. L’intento di Stillwell è di far riflettere sul profondo legame tra matematica e filosofia, e provare l’efficacia della matematica nel definire questioni filosofiche fondamentali: la comprensione dell’infinito; l’esistenza di concetti apparentemente impossibili, come i numeri irrazionali e immaginari, i punti sull’orizzonte, gli infinitesimi, la geometria non euclidea; la diversa natura dei concetti di verità e dimostrazione. Dalle armonie musicali alla scienza dei calcolatori, la cultura dell’Occidente prende forma da una duplice matrice. Se la matematica greca deriva il suo carattere dimostrativo dalla speculazione filosofica, la filosofia moderna trova un suo alfabeto nella lingua matematica. Gli argomenti chiave, concentrati in circa 160 pagine che segueno l’evoluzione storica del pensiero scientifico, sono nove:

Numeri irrazionali (Pitagora, Euclide,…)
Geometria ed infinito (Euclide, Talete, Archimede, Pell,…)
Numeri immaginari (Cardano, Bombelli, Wessel, Eulero, Hamilton, …)
Geometria ed Algebra (Descartes, Grassmann e Peano,…)
Prospettive (l’arte italiana del Rinascimento, Pappo e Desargues)
Calcolo infinitesimale (Newton e Leibniz,…)
Geometria non euclidea (Lobacevskj, Bolyai, Riemann, Beltrami, Minkowski, Hilbert, …)
Numeri reali (Dedekind e Cantor,…)
Computabilità e dimostrazione ( Turing e Godel,…) Il prezzo di listino, tutto sommato ragionevole, è di 18 €.

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John Stillwell è un matematico australiano, PhD al MIT di Boston nel team di Alonzo Church, e professore emerito all’Università di San Francisco (https://www.usfca.edu/faculty/john-stillwell). Autore a dir poco prolifico di manuali e testi introduttivi sulla matematica, tra cui vanno citati almeno:

Classical Topology and Combinatorial Group Theory, 1980
Mathematics and Its History, 1989, 3rd edition 2010
Geometry of Surfaces, 1992
Elements of Algebra: Geometry, Numbers, Equations, 1994
Numbers and Geometry, 1998
Elements of Number Theory, 2003
The Four Pillars of Geometry, 2005
Yearning for the Impossible: The Surprising Truths of Mathematics, 2006
Naive Lie Theory, 2008
Roads to Infinity, 2010
The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis, 2013
Elements of Mathematics: From Euclid to Gödel, 2016
Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out, 2018
A Concise History of Mathematics for Philosophers, 2019
The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics, 2022 Molti di questi titoli si possono caldamente consigliare, ad esempio “Naive Lie Theory” è un antidoto all’eccessiva astrattezza dei manuali tradizionali sulla materia, utile per i fisici interessati alle simmetrie continue dello spaziotempo. Nel 2020 la rivista online “Academic Influence” lo ha inserito al n.4 nella lista dei dieci matematici contemporanei più influenti, “Top Influential Mathematicians Today”:

https://academicinfluence.com/rankings/people/most-influential-mathematicians-today