Che cos'è la Matematica

Che cos’è la Matematica?

La domanda ricorda volutamente il titolo di un grande classico di alta divulgazione scientifica, Whats is Mathematics?, pubblicato nel 1941 dal grande matematico Richard Courant con Herbert Robbins, ristampato innumeroveli volte e rivisto nel 1996 dal matematico e divulgatore Ian Stewart. L’opera si presenta come un libro introduttivo alla matematica e ai suoi metodi, accessibile intende rivolgersi a una platea molto ampia: studenti universitari e liceali, professori di scuola secondaria, un pubblico più generale di persone colte e profane che hanno studiato matematica solo al liceo, anche se la penetrazione e la comprensione dei concetti fondamentali esposti nel libro richiede un certo sforzo intellettuale.

Oggi per una introduzione generale al pensiero matematico accessibile ad uno studente liceale o dei primi anni di università si può senz’altro consigliare il volume di John Stillwell, Mathematics and its History, nella terza edizione del 2010, con una visione unitaria della materia nel contesto storico e culturale.

Dopo Mathematics and its History un appassionato può cimentarsi con il manuale di Saunders Mac Lane Mathematics, Form and Function. Mac Lane, tra i più grandi matematici del XX secolo, ha fondato con Eilenberg la Teoria delle Categorie, una nozione unificante della materia ancora più astratta (e più astrusa per qualcuno) della teoria degli insiemi di Cantor, ed ha redatto con G.Birkhoff un diffusissimo manuale di Algebra. Mathematics, Form and Function è una rassegna della materia che viene letta con grande piacere anche da chi non è affatto un matematico puro, per la chiarezza e la profondità di pensiero dell’Autore.

Tra le opere di consultazione di carattere enciclopedico un posto particolare lo meritano due imponenti volumi della Princeton University Press, uno diretto da Tim Gowers per la matematica pura (2008), e l’altro diretto da Nick Ingham per la matematica applicata (2015). Una vera enciclopedia molto aggiornata dello scibile matematico a cui hanno contribuito oltre trecento tra i più insigni specialisti della materia, in un imponente sforzo collettivo.

Una critica possibile al libro di Courant e Robbins è quella di non rispondere alla domanda del titolo, anche parlando a lungo della materia. Una risposta è il libro Cos’è davvero la matematica, di Reuben Hersh, che si focalizza sulla filosofia della matematica.
Il matematico Hersh critica i colleghi platonisti (gli enti matematici esistano “da qualche parte”, basta solo trovarli) ed i formalisti (che affermano che la matematica non ha significato reale, ma è soltanto una manipolazione di simboli), e propende per un’interpretazione che definisce umanistica-aristotelica, la matematica è un’attività umana.

Il grande matematico ungherese Erdös, l’uomo che amava solo i numeri, credeva che “il Fascista Supremo” (Dio) possedesse un Libro in cui vi erano le dimostrazioni matematiche nella loro forma più semplice e perfetta, e che fosse compito dei matematici trascrivere le pagine di quel libro. Aigner e Ziegler ci hanno provato nel loro “Proofs from the Book”.

Un’interessante tentativo di divulgazione è quello di Elwes, che prova spiegare al profano in pochissime parole del linguaggio comune (limite di 1001 caratteri) tutti i concetti più fondamentali ed affascinanti della matematica, anche di quella più avanzata. Le concise definizioni coprono tutti i settori della matematica pura ed applicata.

Georg Glaeser invece si concentra sulle applicazioni nella scienza e nell’arte della matematica di base, oltre 500 tra fisica, chimica, biologia, astronomia, geografia e musica.

Manuali come quelli di Wallis, Stahl e Johnson, che non richiedono altro che l’algebra elementare della scuola secondaria, possono servire per tappare i buchi della preparazione secondaria ed introdurre argomenti della matematica moderna veramente utili nel mondo reale (probabilità, statistica, grafi, crittografia, …). Andrebbero bene anche per corsi di “Maths for liberal arts”, cioè corsi di matematica per diplomati e matricole di facoltà non scientifiche (tipo lettere e filosofia, legge, scienze politiche, belle arti … ). Vedi anche il volume di Lippmann,Math in Society, e gli altri citati sotto in “Matematica per chi non la comprende”.

Più specifica per gli studenti dei primi anni delle facoltà scientifiche è la guida di Blinder, utile per correggere comuni errori e lacune della preparazione ed introdurre in modo semplice e conciso gli strumenti matematici per seguire corsi di fisica, chimica, ingegneria, informatica. Anche un corso di metodi matematici come quello di Nearing è utile per questo.

Di livello più avanzato, per chi non intende fermarsi alla laurea breve ma arrivare ad un master od un dottorato in fisica e/o matematica, c’è il manuale di Garrity, che introduce tutta la matematica indispensabile a chi vuole iscriversi ad un corso di laurea scientifica specialistica/magistrale. Complemento utile alla lettura dei volumi di Mac Lane e Stillwell.

• Richard Courant, Henry Robbins, Ian Stewart - What is Mathematics?, 1941
  3° ed. rivista 1996, trad.it. Cos’è la matematica? Introduzione elementare ai suoi concetti ed ai suoi metodi

• John Stillwell - Mathematics and Its History - 3rd ed(2010)

• Saunders Mac Lane - Mathematics Form and Function- (1986)

• Timothy Gowers - The Princeton Companion to Mathematics

• Nicholas J. Hingham - The Princeton Companion to Applied Mathematics 2015

• Reuben Hersh - What is mathematics, really - (1999) trad. it Cos’è davvero la matematica

• Martin Aigner, Günter M. Ziegler - Proofs from THE BOOK (2018)

• Richard Elwes - Maths 1001. Absolutely Everything That Matters About Mathematics in 1001 Bite-Sized Explanations (2017)

• Georg Glaeser - Math tools. 500 applications in science and arts (2017)

• W.D. Wallis Mathematics in the Real World (2013)

• Saul Stahl, Paul E. Johnson - Mathematics Old and New (2017)

• Sy M. Blinder - Guide to essential math. A review for physics, chemistry and engineering students- (2013)

• Thomas A. Garrity - All the Math You Missed. (But Need to Know for Graduate School), 2° ed. (2021)

  Articoli e risorse online:
  Nel lavoro di Ziegler e Joos si esaminano varie tesi sulla natura della matematica. Per il grande matematico e fisico russo Vladimir Arnold la matematica è parte della fisica, e va insegnata come tale, evitando come la peste le esposizioni astratte e rigorose basate sugli insiemi e le strutture nello stile del gruppo Bourbaki. L’articolo di Lucio Russo nello stesso numero di Punti Critici. L’articolo di Arnold e i rapporti tra storia della cultura e scienza esatta discute il saggio di Arnold ed in generale il rapporto con la cultura. Infine l’articolo di James Franklin affronta il tema della dicotomia tra matematica del continuo e matematica discreta, sempre più attuale nell’era dei computer in cui la seconda è diventata predominante nelle applicazioni. Sempre sulla dialettica discreto-continuo, con il continuo visto come approssimazione del discreto, c’è il saggio di Paolo Zellini.

• Günter M. Ziegler, Andreas Loos - “What is Mathematics” (2017)
  In: Kaiser G. (eds) Proc. 13th Int.Congress on Math. Education ICME-13
  https://doi.org/10.1007/978-3-319-62597-3_5

• V.I. Arnold - Sull’insegnamento della matematica , in Uspekhi Matematicheskikh Nauk (1998)
  trad. inglese Viktor Goryunov, Russian Mathematical Surveys,vol. 53, n. 1, 1998, pp. 229-234,
  trad.it. Sandro Graffi in PUNTI CRITICI N° 3 (MAGGIO 2000)

• James Franklin - Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics
  Journal of Humanistic Mathematics 7(2), July 2017 http://dx.doi.org/10.5642/jhummath.201702.18

• Paolo Zellini. - Discreto e continuo: Storia di un errore, (2022)

Alternative ed ulteriori letture

Alcuni anni dopo il lavoro di Courant, nel 1956, fu pubblicata in russo una rassegna completa della matematica dell’epoca per il grande pubblico, gli studenti e le persone di cultura, con i contributi di alcuni tra i più grandi matematici sovietici dell’epoca: Kolmogorov, Aleksandrov, Laurentev, Nikolskii, Sobolev, Krilov, Postnikov, Gel’fand ed altri. Una grande opera in tre volumi, di cui è disponibile un’ottima ed economica traduzione inglese, ed una pessima traduzione parziale in italiano di alcuni dei primi capitoli.

Il prof. Stillwell è un autore di manuali molto prolifico, di cui andrebbe letto un pò tutto (Four Pillars of Geometry,Naive Lie Theory, Roads to Infinity, Reverse Mathematics,Yearning for the Impossible, Elements of Algebra,Elements of Number Theory, Elements of Mathematics,… ) Chi è appassionato della materia ma non vuole leggere oltre 600 pagine può limitarsi in alternativa ad Elements of Mathematics from Euclid to Godel, molto più maneggevole.

Il linguista George Lakoff, con lo psicologo Rafael Nuñez, ha studiato la scienza cognitiva delle idee matematiche. Le idee astratte, per la maggior parte, nascono attraverso la metafora concettuale-metaforica, proiettando idee dal modo in cui operiamo nel mondo fisico quotidiano.

Per capire come risolvere problemi, in generale, e la natura del ragionamento matematico sono sempre un classico i testi di Giorgy Polya, specialmente How to Solve It, il libro di matematica più letto e ristampato.

• Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentev - Mathematics - Its content, methods and meaning. (Vol. 1, 2, 3)
• John Stillwell - Elements of Mathematics From Euclid to Gödel (2016)
• George Lakoff, Rafael E. Nunez - Where Mathematics comes from. How The Embodied Mind Brings Mathematics Into Being, (2001)
• Gyorg Polya - How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method
  trad.it. Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica nel metodo matematico
• Philip J. Davis, Reuben Hersh - The Mathematical Experience (2000) trad.it. L’esperienza matematica
• Stewart Shapiro - Thinking About Mathematics. The philosophy of mathematics (2000)

Insegnamento della matematica

• Morris Kline - Why Johnny can’t add. The Failure of the New Math
• Paul Lockhart - A Mathematician’s Lament. How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form
• Conrad Wolfram - The Math(s) Fix: An Education Blueprint for the AI Age
• V.I. Arnold - Sull’insegnamento della matematica, cit. sopra

Matematica per chi non la comprende ( umanisti, artisti, studiosi di scienze umane e sociali in genere)

Chi pensa di essere negato per la matematica, come un filosofo od un artista, può provare a leggere Da Pitagora a Turing, lezioni di Stillwell raccolte in italiano dalla docente di filosofia Rossella Lupacchini. Ne esiste una versione diversa, ridotta, in lingua inglese. Sempre ad un livello elementare, per uno studente di liceo od un uomo della strada che deve ripassare quelle nozioni di base, si può vedere anche La magia della matematica di Arthur Benjamin.

• John Stillwell - Da Pitagora a Turing. Elementi di filosofia della matematica
• John Stillwell - A Concise History of Mathematics for Philosophers (2019)
• Arthur Benjamin - The Magic of Math: Solving for x and Figuring Out Why (2015)
  trad.it. La magia della matematica
• Luca Ricolfi - Matematica per le scienze umane (2016)
• Christoper Thomas - Schaum’s Outline of Mathematics for Liberal Arts Majors (2008)
• Morris Kline - Mathematics for the Nonmathematician
• Ian Stewart - Concepts of Modern Mathematics (1995)
• Karl J. Smith - The Nature of Mathematics, 12th Ed (2012)
• Dave Lippman - Math in Society- Ed2.5 (2017)
• Ryan T. White, Archana Tikayat Ray - Practical Discrete Mathematics. Discover math principles that fuel algorithms for computer science and machine learning with Python (2021)
• John Vince - Foundation Mathematics for Computer Science. A Visual Approach (2020)
• David J. Hunter - Essentials Of Discrete Mathematics (2015)

Storia della Matematica

Prima rapida lettura un classico, il volumetto di Dirk Jan Struik del 1948, più volte ristampato. L’autore attraversò tre secoli, infatti nacque in Olanda nel 1894, salì in cattedra nel 1917 ed insegnò matematica fino al 1998, quando alla tenera età di 104 anni si ritirò definitivamente oltre 81 anni di docenza. Aspettò di l’alba del nuovo millennio e si spense due anni dopo nell’ottobre 2000, a 106 anni. Nella sua lunga carriera ha collaborato con Levi-Civita a Roma, Courant a Gottinga, Norber Wiener al MIT, e fece una pausa dall’insegnamento solo nel periodo in cui venne perseguitato in USA dal sen. Mc Carthy. Infatti accusato di spionaggio per l’URSS venne sospeso per 5 anni dalla sua cattedra al MIT, ma non smise di appoggiare il piccolo partito comunista olandese e pubblicare anche lavori sul marxismo.
Altra lettura non impegnativa è “Domare l’infinito” dell’instancabile divulgatore Ian Stewart. Per un’opera moderna e più approfondita si possono consultare il volume di Victor Katz, la nuova edizione di Carl Boyer, la monumentale opera di Morris Kline. I saggi di Odifreddi e quello di Bartocci ed altri si concentrano su alcuni temiù e protagonisti della matematica del XX secolo.

• Dirk Jan Struik - A Concise History of Mathematics
• Ian Stewart - Taming the Infinite The Story of Mathematics from the First Numbers to Chaos Theory
  trad.it. Domare l’infinito
• Katz, Victor J - A history of mathematics.
• Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach - A History of Mathematics, 3 ed.rivista
  trad. it. Storia della Matematica (1° ed., non aggiornata)
• Morris Kline - Mathematical Thought from Ancient to Modern Times - 3 vol.
  trad.it. Storia del pensiero matematico
  1. Dall’Antichità al Settecento (Vol. 1)
  2. Dal Settecento ad oggi (Vol. 2)
• Claudio Bartocci ed altri - Vite matematiche: Protagonisti del ‘900, da Hilbert a Wiles
• Piergiorgio Odifreddi - La matematica del Novecento

Divulgazione per Tutti

• Timothy Gowers - Mathematics. A Very Short Introduction
  trad.it. Matematica. Un’introduzione.
• Adam Goriely - Applied Mathematics. A Very Short Introduction
• Peter M. Higgins - Numbers. A Very Short Introduction
• Peter M. Higgins - Algebra. A Very Short Introduction
• Edward Kasner, James Newman - Mathematics and the Imagination
• Keith Devlin - Introduction to Mathematical Thinking
  trad.it. Dove va la matematica
• Keith Devlin - The language of mathematics. Making the invisible visible
  trad.it. Il linguaggio della matematica. Rendere visibile l’invisibile
• Otto Toeplitz, Hans Rademacher - The Enjoyment of Mathematics. Selections from Mathematics for the Amateur (1990)
• Eli Maor - Music by the Numbers. From Pythagoras to Schoenberg
  trad.it. La musica dai numeri. Musica e matematica, da Pitagora a Schoenberg (2019)
• Eli Maor - The Pythagorean Theorem. A 4,000-Year History

Numeri Straordinari

• John H Conway,Richard Guy - The Book of Numbers
  trad.it. Il libro dei Numeri
• Donald Knuth - Surreal Numbers. How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness
  trad.it. Numeri surreali. Come due ex studenti scoprirono la matematica pura e trovarono la vera felicità
• Charles Seife - Zero. the biography of a dangerous idea (2000)
• Petr Beckmann - A History of Pi (1976)
• Pietro Greco - Storia di Pi Greco (2018)
• Eli Maor - e. The story of a number (2015)
• Paul J. Nahin - Dr. Euler’s Fabulous Formula. Cures Many Mathematical Ills (2011)
• Paul J. Nahin - An imaginary tale. The story of the square root of minus one (2016)
• Ian Stewart - Numeri incredibili
• Umberto Bottazzini - Numeri (2018), nella collana Raccontare la Matematica
• Gabriele Lolli - Numeri: La creazione continua della matematica (2015)
• Constance Reid - From Zero to Infinity. What Makes Numbers Interesting, 15° ed. (2006)
  trad.it. Da zero ad infinito. Fascino e storia dei numeri

L’Infinito

• Ian Stewart - Infinity. A Very Short Introduction
• Eli Maor - To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite (1991)
  trad.it All’infinito e oltre. Storia culturale del concetto di infinito
• David Foster Wallace - Everything and More: A Compact History of Infinity (2010) trad.it. Tutto, e di più. Storia compatta dell’infinito
• Lucio Lombardo Radice - L’infinito. Itinerari filosofici e matematici di un concetto base (2014)
• Umberto Bottazzini - L’infinito (2018), nella collana Raccontare la Matematica
• Giorgio Chinnici - Il labirinto del continuo. Numeri, strutture, infiniti (2019)

Biografie, testimonanzie e riflessioni

• Godfrey H. Hardy - Apology of a Mathematician
  trad.it. Apologia di un matematico
• David Ruelle - The Mathematician’s Brain. trad.it. “La mente matematica”
• Ian Stewart - Letters to a Young Mathematician trad.it. Com’è bella la matematica. Lettere a una giovane amica
• Richard W. Hamming - The Art of Doing Science and Engineering. Learning to Learn
• Reuben Hersh, Vera John-Steiner - Loving + Hating Mathematics. Challenging the Myths of Mathematical Life
• Serge Lang - La bellezza della matematica
• Vladimir Arnold - Yesterday and Long Ago
• Paul Hoffman - The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth (1999)
  trad.it. L’uomo che amava solo i numeri
• Sylvia Naser - A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash trad.it. Il genio dei numeri
• Simon Singh - L’ultimo teorema di Fermat. L’avventura di un genio, di un problema matematico e dell’uomo che lo ha risolto
• Marcus Du Sautoy - L’enigma dei numeri primi. L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica
• Gabriele Lolli - Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del novecento
• Judith R. Goodstein - The Volterra Chronicles: The Life and Times of an Extraordinary Mathematician
  trad.it. Vito Volterra. Biografia di un matematico straordinario
• Judith R. Goodstein - Einstein’s Italian Mathematicians
  trad.it. I matematici italiani di Albert Einstein. Ricci, Levi-Civita e la nascita della relatività generale
• Fabio Toscano - Il genio e il gentiluomo. Einstein e il matematico italiano che salvò la teoria della relatività generale
• Cedric Villani - Theoreme Vivant
  trad.it. Il teorema vivente. La mia più grande avventura matematica
• Edward Frenkel - Love and Math: The Heart of Hidden Reality (2014)
• Jeremy Gray - Simply Riemann (2020)

Altre Letture

Storia della Matematica

• Eric T. Bell - Men of Mathematics (1986)
  trad.it. I grandi matematici
• Ian Stewart - Significant Figures: The Lives and Work of Great Mathematicians
  trad.it. I numeri uno. La vita dei più grandi matematici del mondo (2018)
• Jane Muir - Of Men and Numbers: The Story of the Great Mathematicians
• Frank J. Swetz - The Search for Certainty: A Journey Through the History of Mathematics, 1800-2000
• Jacqueline Stedall - The History of Mathematics. A very short introduction
• Umberto Bottazzini - Il flauto di Hilbert. Storia della matematica
• Bruno D’Amore, Silvia Sbaragli - La matematica e la sua storia - 4 vol.
  1. Dalle origini al miracolo greco
  2. Dal tramonto greco al medioevo
  3. Dal rinascimento al XVIII secolo
  4. Dal XVIII al XXI secolo

Per la storia della scienza in generale dal 1600 in poi, non ristretta alla sola matematica, è sempre utile consultare la monumentale opera in 6 vol. diretta da Paolo Rossi

• Paolo Rossi (direttore) - Storia della scienza moderna e contemporanea - 6 vol.
  1.1 Dalla rivoluzione scientifica all’età dei lumi I
  1.2 Dalla rivoluzione scientifica all’età dei lumi II
  2.1 Dall’età romantica alla società industriale I
  2.2 Dall’età romantica alla società industriale II
  3.1 Il secolo ventesimo I
  3.2 Il secolo ventesimo II