La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.
Galileo Galilei (Il Saggiatore, 1623)
La matematica è quella parte della fisica in cui gli esperimenti costano poco
Vladimir Arnold, On Teaching Mathematics, Russ. Math. Surv. 53 1 (1998)
Domande:
Le risposte a queste domande sono profondamente cambiate grazie ai progressi della matematica, della fisica e delle scienze in generale nel XX secolo. Con un passo indietro cominciamo dalla domanda Che cos’è la geometria?
La geometria è lo studio delle delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni, o simmetrie, di uno spazio topologico
Abbiamo quindi quattro concetti fondamentali:
graph TD
A(Spazio) <==> B(Topologia)
A(Spazio) <==> C(Gruppo di Trasformazioni)
B <==> D(Simmetria)
C <==> D
SPAZIO TOPOLOGIA GRUPPO DI TRASFORMAZIONE SIMMETRIA
Uno spazio topologico è uno spazio, cioè un generico insieme, i cui elementi sono detti punti, con una topologia, cioè con una definizione molto generale ed astratta di concetti come vicinanza, continuità, connessione, compattezza e convergenza, e delle proprietà delle forme e degli oggetti che non cambiano per una deformazione continua dello spazio, senza tagli, strappi, sovrapposizioni ed incollature. Si chiama Topologia anche il ramo della matematica che studia gli spazi topologici, la base più importante insieme all’Algebra Astratta ed al linguaggio unificante fornito dalla Teoria delle Categorie (funtori, morfismi, strutture, classi ed insiemi).
il concetto di Spazio viene definito nella Topologia,(la parola viene dal greco topos, “luogo”, e logos, “studio”).
Il concetto di Gruppo di trasformazioni viene invece dall’Algebra Astratta, l’altre grande branca della matematica moderna, che studia le strutture come campo, spazio vettoriale, anello, reticolo, algebra ed appunto gruppo, definite in un insieme con una o più operazioni.
La Geometria si basa sulla Topologia (che studia le trasformazioni più generali) ed in base al tipo di trasformazioni abbiamo una gerarchia di geometrie, dalla più generale a quelle più specializzata:
topologia generale ed algebrica, invarianti per deformazioni continue
topologia differenziale, invarianti per deformazioni che non sono solo continue ma anche descrivibili con funzioni differenziabili
geometria proiettiva, invarianti per trasformazioni proiettive,
proiezione di uno spazio in un’altro
geometria affine, invarianti per trasformazioni affini, proiezioni che conservano il parallelismo tra rette
geometria conforme, invarianti per trasformazioni conformi, trasformazioni affini che conservano la misura degli angoli
geometria metrica, invarianti per isometrie, trasformazioni che conservano la metrica, cioè la misura di distanze ed angoli
geometrie euclidee e non euclidee, particolari geometrie metriche con diverse definizioni della misura di distanze ed angoli
Nelle scuole secondarie si studia solo la geometria euclidea di 2300 anni fa, quando esistono tante geometrie di cui quella antica è solo una infinitesima parte. Solo negli ultimi decenni si è iniziato a comprendere le applicazioni alla scienza della topologia e delle nuove geometrie, un settore estremamente vivace della ricerca contemporanea.
Anche la stessa origine della parola geometria è fuorviante, infatti viene dal greco geos (terra) e metria (misura), quindi letteralmente misura della terra, ma in generale non si occupa di misure, e tantomeno della terra. Anche i metodi di studio degli oggetti geometrici sono profondamente cambiati rispetto alla geometria euclidea, che è una geometria sintetica, cioè basata sulla dimostrazioni di teoremi a partire da opportuni postulati e le costruzioni con riga e compasso. Oggi invece abbiamo:
geometria analitica, in cui si utilizzano sistemi di coordinate per utilizzare gli strumenti
dell’algebra e del calcolo nei problemi geometrici
geometria degli spazi vettoriali, in cui applicano gli strumenti dell’algebra lineare per studiare vettori, operatori, tensori e spazi vettoriali in genere
topologia differenziale o geometria differenziale, in cui si applicano gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale per studiare varietà differenziabili, spazi fibrati, forme differenziali, connessioni, curve e superfici
topologia algebrica o geometria algebrica, in cui si applicano gli strumenti dell’algebra astratta per studiare spazi topologici e varietà algebriche
Gli oggetti geometrici più importanti nelle applicazioni sono:
vettori operatori tensori grafi nodi frattali curve superfici varietà fibrati poligoni solidi reticoli tassellature
Concetti fondamentali: Spazio Simmetria Topologia
Altri concetti importanti: dimensione misura discreto - continuo locale - globale lineare - non lineare metrico - topologico
Metodi: geometria analitica, sistemi di coordinate geometria con i vettori elementari geometria con i numeri (reali, complessi, quaternioni, …) geometria ed algebra geometria ed analisi matematica geometria proiettiva ed affine
Spazio –> spazio degli stati, spaziotempo, spazi vettoriali (o lineari), varietà, fibrati, dimensione, intera, frattale, dimensioni nascoste distanza, spazi metrici, norme, prodotti scalari Sistema dinamico -> lineare o non-lineare, stabile o caotico, semplice o complesso
Simmetria e rottura della simmetria, invarianza e gruppi di trasformazioni, simmetria in geometria e topologia, programma di erlangen, geometria affine, proiettiva, euclidea e non-euclidea simmetria in fisica: simmetrie globali e locali, discrete e continue, principi di conservazione, meccanica classica e quantistica, atomi, molecoli, cristalli particelle elementari, transizioni di fase, rottura spontanea, ordine topologico invarianza di scala, autosimilarità,